ஒன்றைப் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் என்ன கிடைக்கும்?

பள்ளியில் எங்களை கணிதம் பயில்விக்கும் உபாத்தியார் கேட்டார்.

சாக்பீஸ் தீற்றல்களால் வெளிறிப்போயிருந்த கரும்பலகையை நோக்கி அங்குமிங்குமாய் விரவியிருந்த அரைபெஞ்சுகளில், வியர்க்கும் முழங்கால்களை முட்டிக்கொண்டு அரைநிஜாரில் நாங்கள்.

அனைவரும் விடை என நினைத்ததைக் குரலெடுத்தோம், பூஜ்ஜியம் என்று.

கணக்கு வாத்தியார் வாமன ரூபம். ஆர்.எஸ்.வீ. சார் என்று மரியாதையில் பெயரும் சுருக்கிவரையப்பட்டவர். முழுப்பெயர் எனக்குத் தெரியாது. அமெரிக்க மேற்படிப்பில் முதல்நாளில் குருவை ழோஸெ என்று ஒருமையில் விளிக்கக்கற்ற இன்றும்.

பூஜ்ஜியம் என்கிற பதிலை எதிர்பார்த்துச் சிரித்தபடி உபாத்தியார், சரி, “ஒன்றை ஒன்றால் வகுத்தால் என்ன வரும்” என்றார். “ஒன்று” என்று சரியாக பதிலளித்தோம். “ஒன்றை இரண்டால் வகுத்தால்?” “அரை, 0.5 வரும்” (இதையே தப்பாக சொல்லியிருந்தால் அறை விழும்). “அப்ப, ஒன்றை நான்கால் வகுத்தால்?”, “அரைக்கால், 0.25,” என்று அலறினோம்.

கணக்கு வாத்தியாரின் வாமன ரூபம் கீர்த்தியிலும்தான். செருப்பணியாத வைணவர். எப்போதும் கஞ்சியடித்த மொடமொட கதர் வெள்ளுடுப்பில் பெருமாள் புறப்பாட்டின் பெட்ரமாக்ஸ் விளக்கொளிபோல் வெளிவரும் எங்களூர் விவேகாநந்தர். மணம் புரிந்துகொள்ளதவர். கெட்டிக் காரர் என்பதைச் சொல்லவேண்டியதில்லை.

நிதானித்தார். அதற்குள் கடைசி பெஞ்சும் சுவாரஸ்யத்தினால் விழித்துத் தலை நிமிர்ந்திருந்தது. ஓலைக் கூரையை தன்மேல் பொறுத்துக்கொண்டிருந்த காரைச் சுவற்றில், மரப்பட்டையென கௌளி உச் உச் உச் உச் என்று உற்சாகமடைந்தது.

“என்ன நடக்கிறது என்று புரிகிறதா” என்றார் உபாத்தியார். “பின்னத்தின் அடிப்பகுதியின் எண்ணிக்கையை அதிகரித்துக்கொண்டே போனால், பின்னத்தின் மதிப்பு குறைகிறது. அப்படியெனில் அடிப்பகுதி எண்ணை மிக அதிகமாக, முடிவிலி என்றாக்கினால், பின்னத்தின் மதிப்பு என்னவாகும்?”

“மிகக்குறைவான எண் வருமா?” சந்தேகமாய் முனகினோம்.

“சரிதான். அதைப் பலமாய்ச் சொல்லுங்களடா. பின்னத்தின் அடிப்பகுதி முடிவிலியானால், பின்னம் பூஜ்ஜியம் என்கிற மதிப்பை நெருங்கிவிடும். இருங்கள். சுவாரசியமே இனிமேல்தான்.

தொடர்ந்தார். “மேற்படி பின்னத்தின் மேல் பகுதியில் ஒன்றிற்கு பதிலாய் இரண்டு என்று வைத்துக்கொள்வோம். இப்போது கூறுங்கள்; இரண்டை, முன்போல், ஒன்றால், இரண்டால், நான்கால் என்று வகுத்தால் பின்னத்தின் மதிப்புகள் என்னென்ன கிடைக்கும்?”

தயங்காமல் சரியாகச் சொன்னோம். “இரண்டு, ஒன்று, பாதி…” என்று.

அப்படியே போய் விந்தையைக் கண்டோம். இரண்டை அதிகமான மதிப்புடைய எண்களால் வகுத்தாலும் பின்னத்தின் மதிப்பு குறைந்துகொண்டே போகும். நீட்சியாய் இரண்டை முடிவிலியால் வகுத்தாலும் கிடைப்பது… பூஜ்ஜியமே. பின்னதின் மேல்பகுதியில் எந்த எண் இருந்தாலும், அதை முடிவிலியால் வகுத்தால், கிடைப்பது பூஜ்ஜியமே. முடிவிலியின் மகத்துவம்.

எனக்கு அவர் அணிந்திருக்கும் வெள்ளுடுப்பை ஓங்கித் தட்டினால் சாக்பீஸ் புழுதி வெளிப்பட்டு (தும்மல்கள்) அடங்கியதும், உடுப்பின் நிஜ நிறம் தெரியவரும் என்று தோன்றும். ஓங்கித் தட்டினால் ஸைன்-தீட்டா காஸ்-தீட்டா வெல்லாமும் கொட்டுமே என்று பயம்.

இருந்தாலும் உட்கார்ந்திருக்கும் பெஞ்சுக்கருகில் அவர் வருகையில் ஓரிரு முறை அவரது கால்சிராயின் கணுக்காலை தூசிதட்டியிருக்கிறேன். உடுப்பின் வெண்மை மாறவில்லை. ‘கால்’ கிலோ சாக்பீஸ் தூசியுடன் ‘கால்’குலஸ் சூத்திரங்கள் மட்டும் ஓரிரண்டு உதிர்ந்தன. கணிதக்கால் இரும்பொறை.

தொடர்ந்தார். “சுவாரஸ்யமே இனிமேல்தான். இதுவரை நீங்கள் செய்ததை மாற்றிப்போடுவோம். ஒன்றை பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் என்ன கிடைக்கும்?”

இப்போதும் முழித்தோம்.

“சரி, ஒன்றை ஒன்றால் வகுத்தால் கிடைப்பது ஒன்று; அதுபோல, ஒன்றை பாதியால் (0.5) வகுத்தால் என்ன கிடைக்கும்?”

இரண்டென்றோம் சரியாக.

“அப்படியே சென்று, ஒன்றை அரைக்காலால் வகுத்தால் நான்கு வரும் என்பது புரிகிறது. அதாவது, ஒன்றை படிப்படியாக மதிப்பு குறையும் எண்களினால் வகுத்தால், கிடைக்கும் விடை மதிப்பு அதிகரித்தபடி உள்ளதில்லையா? அப்ப, ஒன்றை மிகக்குறைந்த எண்ணான பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் என்ன விடை?”

ஏமாற்றவில்லை அவரை நாங்கள் (ஜுனூன் தமிழ் வாக்கியமென்றாலும்). “விடை, முடிவிலி சார்!”

“அதோடு, முன்போலவே, பின்னத்தில், மேலுள்ள எண்ணை ஒன்றிற்குப் பதில் எது வைத்தாலும், கீழே பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் கிடைப்பது முடிவிலிதான்…” என்று கணித உபாத்தியார் விளக்குகையில், கண்டுகொண்டோம் பூஜ்ஜியத்தின் மகிமையை.

“இப்போதுதான் என் நிஜக் கேள்வி” என்றார் உபாத்தியார் உதட்டிற்குள் சிரித்தபடி. “எவ்வெண்ணையும் முடிவிலியால்வகுத்தால், கிடைப்பது பூஜ்ஜியமே; அதேபோல், எவ்வெண்ணையும் பூஜ்ஜியத்தினால் வகுத்தால் கிடைப்பது முடிவிலி; சரி, இப்போது சொல்லுங்கள் பார்ப்போம், பூஜ்ஜியத்தை பூஜ்ஜியத்தினால் வகுத்தால் என்ன கிடைக்கும் (0/0 =?)?”

”முடிவிலிதானே…” என்று தொடங்கி, சுதாரித்து, திணறி, தவித்து…

மற்ற நேரங்களில் கிரிக்கெட்டில் “த்ரீ டபிள்யூஸ்” எவர் என்றும், சார்ந்த மேற்கிந்திய தீவுகள் கிரிக்கெட் அணியின் பிரதாபங்களையும் எங்களுடன் சரிக்குசரி பகிறும் எங்கள் கணக்கு உபாத்தியார் வாயிலாக, அன்று அறிந்துகொண்டோம் கணிக்கமுடியா பின்னங்கள் என்றால் என்னவென்று. ஒன்றுமில்லாததிலிருந்து ஒன்றுமில்லாததை பலமுறை கழிப்பதெவ்வாறு (அதுதானே வகுத்தல்)… அங்கிருந்து தொட்டோம் அடுத்த உச்சத்தை; ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் என்கிற பெயர் அறிமுகத்துடன்.

ராமானுஜன் கதையுடன் அன்று வகுப்பு முடிகையில் ஆர். எஸ். வி. என்றறியப்பட்ட எங்கள் கணித உபாத்தியார் உணர்ச்சிவசப்பட்டிருந்ததைக் கண்டோம். கல்வி மோனத்தில் கலைந்தோம்.

*

ஆசிரியர் தினம் என்பதை பிரத்தியேகமாக கொண்டாடும் ஒரு சில நாடுகளில் இந்தியாவும் ஒன்று. சில நாடுகளில் உலக ஆசிரியர் தினம் என்று அக்டோபர் 5ஆம் தேதியில் கொண்டாடப்படுவது பிரதானமாக ‘ஆசிரியச் சங்கங்களை’ பாராட்டிக்கொள்வதற்கு. இந்தியாவில் ஆசிரியர் தினம் கொண்டாடப்படுவதின் முதன்மை காரணம் எழுத்தறிவிக்கும் பணியின் மேன்மையை போற்றுவதற்காக. சுதந்திர இந்தியாவின் ஜனாதிபதி சர்வெபள்ளி ராதாகிருஷ்ணனின் வேண்டுகோளில் உந்தப்பட்டு (1962இல்) அவரது பிறந்தநாளைக் கொண்டாடவிழைந்த மாணவர்கள் செப்டெம்பர் 5ஆம் தேதியை ஆசிரியர் தினமாகக் கொண்டாடத் துவங்கினர்.

ஆசிரியர் ராதாகிருஷ்ணன் அசாத்தியமானவர். பேராசிரியர் என்.வி.சி.சுவாமி-யின் உரையில் கேட்டது இது. ஜனாதிபதியாகுமுன் ராதாகிருஷ்ணன் ஆங்கிலேயர் ஆட்சியில் செயல்பட்டுக்கொண்டிருந்த பல பல்கலைக்கழகங்களில் ஆசிரியராகப் பணியாற்றியிருந்தார். மைசூர் பல்கலைகழகத்திலிருந்து கிட்டத்தட்ட இரண்டாயிரம் கிலோமீட்டர்கள் வடகிழக்கில் உள்ள கல்கத்தா பல்கலைக்கழகத்திற்கு பேராசிரியராக இடம்பெயரத் தயாரானார். தன் இருப்பிடத்திலிருந்து மைசூர் ரயில் நிலையத்திற்குப் போகவேண்டும். தேரில் ஏற்றி அழைத்துச்செல்லப்பட்டாராம். அவரது மாணவர்களால் இழுக்கப்பட்டத் தேரில்.

*

சில ஆண்டுகள் முன் இப்போது வேலை செய்யும் உயர்கல்விநிறுவனத்தில் வகுப்பெடுக்க நடந்துசென்றுகொண்டிருந்த என்னை ஒரு மாணவன் தடுத்தான். சுதாரிப்பதற்குள் தடாலென்று காலில் விழுந்தான். மண்ணொட்டிய மேனியுடன் ‘ஆசிரியர் தின வாழ்த்துகள் சார்’ என்றவன், அகன்றான். ரேழி இருட்டில் யாரோ பிடித்ததுபோன்ற நிலையில் நான் தட்டுத்தடுமாறி படியேறி வகுப்படைந்து விரித்துரைத்து வியர்த்தேன்.

லேபிற்கு திரும்பிவரும்வழியில் “உண்மையாகவே என் உபாசகங்களினால் அம்மாணவனை அவ்வளவு பாதித்துவிட்டேனா?” உடம்பின் எட்டு இடங்களை தரை தொட்டு செய்யப்படும் ‘சாஷ்டாங்கப் ப்ரணாமம்’ என்பதை வேளுக்குடி கிருஷ்ணன் விவரித்திருக்கிறார். இன்னும் எவ்வளோ பேர் இவ்வாறு என்னிடம் தங்கள் மரியாதையை வெளிப்படுத்தாமல் இருப்பார்களோ. புன்னகைத்துக்கொண்டேன். கல் தடுக்கியது. ஆர்.கே.நாராயன் மனிதனை மனிதன் விழுந்து சேவிப்பதின் அயோக்யத்தை சாடியிருக்கிறார். நுழைந்ததும் லேபில் என் இருக்கை சிம்மாசனமாய் சுகித்தது. ‘கொலுவையுநாடே கோதண்டபாணி’ என்று பைரவியில் மதுரை மணி காதருகில் கசிந்தார். வாசலில் ஹாரன் ஒலி; என் தேராகத்தான் இருக்கும்… டேய், ஸ்டாப்.

‘மா கேளரா விசாரமோ’ என்று ஆராய்ச்சிப்பணியில் மூத்தவர் ஆசுவாசப்படுத்தினார்.

“அந்தப் பையன் நார்த்-பா. அங்கெல்லாம் இப்படித்தான் டீச்செர்ஸ் டே கொண்டாடுவாங்க. எல்லா டீச்செர் ப்ரொபஸர் கால்லையும் விழுவாங்க. என்கிட்டயும் இன்னிக்கு விழுந்தாங்க. பெரிசா நினைச்சுக்காத. வேலயப் பாரு. நாளைக்கு சரியாப்போய்டும்”

‘அஹம் ராதாகிருஷ்ணன்’ என விம்மியிருந்த அகம் ஐந்தேமுக்காலடிப் புறத்துடன் ஐக்கியமாகிச் சிறுத்தது, சிரித்தது. நல்லவேளை, என் மேல தப்பில்லை…

*

சில எழுத்து வாசிக்கையில் நம்மையும் எழுதத்தூண்டும். ஆற்றாமையில். இவனுக்கு நாமளே பெட்டர் என்று. சில எழுத்து வாசிக்கையில் நம்மை வாசிப்பதை நிறுத்திவிடக்கோரும். அதன் சுயபோகத் திகட்டலில், கருங்கருத்துகளின் குமட்டலில், அரைகுறை அச்சுபிச்சு அயர்ச்சியில், வெட்டி வளவள ஆயாசத்தில்.

சில எழுத்து வாசிக்கையில் நம்மையும் எழுதத்தூண்டும். ஆர்வத்தில். அட, எழுத்துக்கலை இவ்வளவு எளிமையானதா என்று. சுஜாதா எழுத்து. சில எழுத்து வாசிக்கையில் நம்மை எழுதுவதை நிறுத்தக்கோரும். நாஞ்சில் நாடன் எழுத்து.

ஸ்ரீரங்கத்து தேவதைகள் தொகுப்பில் தன் கணக்கு வாத்தியாரை முன்வைத்து  சுஜாதா எழுதிய ‘வி.ஜி.ஆர்.’ சிறுகதையையும், ‘காவலன் காவான் எனின்’ நூலிலுள்ள ‘எழுத்தறிவித்தவன்’ என்கிற தலைப்பில் நாஞ்சில் நாடன் தன் பள்ளி உபாத்தியார்களைப் பற்றி எழுதியுள்ள கட்டுரையையும் இந்த ஆசிரியர் தினத்தில்’ பரிந்துரைக்கிறேன்.

*

நன்றிகெட்டத்தனம் எத்துறையிலும் பிரசித்தியே. உயர்கல்விப்பணியில் மோசமான நாட்களில் ‘சே, எதற்கு இந்தப் பிழைப்பு’ என்றாகும் தருணங்களில் என் ‘வாமன’ கணித ஆசிரியரையும் சேர்த்து எனக்கு ‘எழுத்தறிவித்த’ பலரை நினைத்துக்கொள்வேன். சோதனையிலும் என் தகுதிக்கேற்ற திறனுடன் இப்பணியில் தொடர்ந்து செயல்படுவதே இந்தச் சிறுபான்மையினருக்கான என் நன்றிக்கடன்.

உய்வில்லை செய்நன்றி கொன்ற மகர்க்கு.

***