சில வருடங்கள் முன்னர் இத்தலைப்பில் எழுதியுள்ளேன். சிலருக்கு ஞாபகம் இருக்கலாம். இந்த ‘மீள்பதிவில்’ உள்ளடக்கத்தை சிறிது வளர்த்தியுள்ளேன். ஓரிரு கோவில்களையும் சேர்த்துக்கொண்டுள்ளேன். கட்டுரையாக ஒரு வடிவம்  ‘அம்ருதா’ ஜனவரி 2014 இதழிலும் வெளியாகியுள்ளது; ‘டூக்கன் பறவைகளுக்கு…’ புத்தகத்திலும் இருபத்தியைந்தில் ஒரு கட்டுரையாக இடம்பெற்றுள்ளது. புதிய இணைய வாசகர்களுக்கு விஷயத்தை அறிமுகப்படுத்தவே மீள்பிரசுரம். காரணம், அடிக்குறிப்பில். இனி, கட்டுரை…

*
போரோமியன் வளையங்கள் என்று ஒரு விஷயம் உள்ளது. மூன்று வளையங்களை ஒன்றோடு ஒன்று படத்தில் உள்ளது போல் சேர்த்தால் கிடைப்பது போரோமியன் வளையங்கள். விசேஷம் என்னவென்றால், இரண்டிரண்டாக பார்க்கையில் வளையங்கள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக தனித்தனியே இருக்கும். சுலபமாக பிரித்து எடுத்துவிடலாம். படத்தில் உள்ளது போல மூன்றாக, முடிச்சாக, சேர்த்து பார்க்கையில் அவ்வாறு செய்யமுடியாது.

உதாரணத்திற்கு, படத்தில் சிவப்பு வளையம் இல்லை என்றால், மஞ்சள் மற்றும் நீல நிற வளையங்கள் ஒன்றன்மேல் ஒன்று இருக்கும். முடிச்சாக இல்லாமல். பிரித்துவிடமுடியும்.

இவ்வளையங்களின் பெயர் காரணம், இத்தாலியில் உள்ள போரோமியோவில் இருந்த பிரபுக்கள் தங்கள் குடும்ப இலச்சினையாக இவ்வகை வளையங்களை முதலில் உபயோகித்துள்ளனர் என்பதால். இணையத்தில் மேலும் போரோமியன் படங்கள் இங்கு http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/index.html. ஆங்கிலத்தில் ‘விக்கி’யுமிருக்கிறார்கள். வாசித்துக்கொள்ளுங்கள்.

தமிழில் சளசள, வளவள என்று இரட்டைகிளவி தனித்தனியே வார்த்தையை பிரிக்கையில் பொருள்படாமல், இரண்டாக சேர்ந்து வருகையில் பொருள்படுகிறதே, அதுபோல போரோமியன் வளையங்கள் விஷயத்தில் வளையங்கள் தனித்தனியே இருக்கையில் விசேஷம் இல்லை. ஆனால், மூன்றாக இருந்தால் தனி மதிப்பு, அர்த்தம். மும்மூர்த்திகள், ட்ரினிட்டீக்கள் போல.

அறிவியலில் ஒரு தொலைதாக்க உதாரணம் சொல்லவேண்டும் என்றால், அணுவைப் போல. மூலத்துகள்கள் அல்லது அடிப்படை துகள்களான புரோட்டான், எலக்ட்ரான், நியூட்ரான் மூன்றும் சேர்ந்திருத்தால்தான் அணு. தனித்தனியே இம்மூலத்துகள்கள் இருக்காது. அணுவிலிருந்து இவற்றில் ஒன்றை மட்டும் நீக்கினாலும், அணு அயனாகிவிடும்.

கணிதவியலில் டோப்பாலஜி என்று ஒரு துறை உள்ளது. டோப்பாலஜி என்பது தொடர்ச்சியாக உருமாறும் பொருட்களின் எத்தன்மைகள் அல்லது குணங்கள் மாறுபடாமல் இருக்கிறது என்பது பற்றி படிப்பது. சாதாரண வடிவியலில் (ஜியாமெட்ரி) அளவுகள், கோணங்கள் பிரதானம். டோப்பாலஜி ஒரு ரப்பர் ஷீட் வடிவியல். இதில் எவ்வளவு தூரம், எவ்வளவு கோணம், எவ்வளவு பெரிசு என்றெல்லாம் கேட்கமுடியாது. பதில் கிடைக்காது. மாறாக எங்கு உள்ளது, எதற்கிடையே உள்ளது, எது உட்புறம் எது வெளிப்புறம் என்ற கேள்விகளுக்கு பதில் உண்டு.

டோப்பாலஜியில், நாட் தியரி (knot theory) என்றொரு உள்துறை உண்டு. சாமான்யருக்கு முடிச்சு (knot) என்றால், ஒரு இழையில் உள்ள சிக்கல். டோப்பாலஜி கணிதவியலாளர்களுக்கு முதலில் அந்த இழை தொடக்கமும் முடிவுமற்றதாய் இருக்கவேண்டும். அவ்வாறான சில இழைகள் சிக்கலாய் கோத்துக்கொண்டால்தான் முடிச்சு. ஒரே ஆரம்பமும் முடிவுமற்ற இழை, சிக்கலாய் கலைந்திருந்தாலும் அவர்களுக்கு அது வட்டமே. ஒரு இழை மட்டும் பிரிந்து, இருமுனைகளுடன் இருந்தால் அதை முடிச்சிலா பொருள் (un-knot) என்பார்கள். டோப்பாலஜிஸ்டுகள் போரோமியன் வளையங்களை முடிச்சு சித்தாந்தத்தில், பிருன்னியன் சங்கிலி (Brunnian link) என்றழைக்கிறார்கள். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் இவற்றை ஆராய்ந்த ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் எச். ப்ருன் (H. Brunn) பெயரில்.

ஆஸ்திரேலியாவின் சிற்பி ஜான் ராபின்சன் போரோமியன் வளையங்களின் கருத்தைக்கொண்டு பல சிற்பங்களை வடித்துள்ளார். உதாரணத்திற்கு ஒன்று அருகே படத்தில். இரும்பினாலான இச்சிற்பம் மூன்று சாய்சதுரங்களை (rhombus) போரோமியன் வளையமாக செதுக்கிக்காட்டுகிறது. ஜெனிஸிஸ் என்று பெயரிடப்பட்டுள்ள இச்சிற்பம் வேல்ஸ் பல்கலைகழகத்து தோட்டத்தை அலங்கரிக்கிறது.

சில வருடங்கள் முன்னர் (2004இல்) ‘சயன்ஸ்’ ஆராய்ச்சி சஞ்சிகையில், மாலிக்கியூள்களை எவ்வாறு போரோமியன் வளையங்களைபோல கோக்கலாம் என்று கட்டுரை வெளிவந்துள்ளது. எப்படி இப்பரிசோதனையை இளநிலைகல்வி பரிசோதனை நிலையங்களில் செய்து காட்டலாம் என்பது பற்றியும் வேதியியல் கல்வி கற்பித்தலைப் பற்றிய சஞ்கிகையில் ஒரு கட்டுரை வந்திருக்கிறது.

முப்பரிமாணங்களில் இவ்வளயங்களை வீட்டிலும் செய்துபார்க்கலாம். வீட்டுக் குழந்தையின் வளையல்களை சுட்டு செய்த என் முயற்சி இங்கு படத்தில் உள்ளது. முதல் இரண்டு படத்தில் வளையல்கள் ஒன்றிற்கொன்று செங்கோணமாக (orthogonal) பிடிக்கப்பட்டுள்ளது.

இரண்டாவது படத்தில் (கீழே உள்ளது) இவை கிட்டத்தட்ட இரண்டு பரிமாணங்களில் தட்டையாக்கப்பட்டிருக்கிறது.

ஆனால் படத்தில் உதாரணத்திற்கு காட்டியுள்ளது போல இரண்டு பரிமாணங்களில் போரோமியன் வளையங்கள் செய்ய முடியாது. ஒரு வளையலையாவது படத்தில் காட்டியதுபோல உடைக்கவேண்டும். இதையே நிருபணம் செய்து முடிச்சு சித்தாந்தத்தில் (knot theory) ஆய்வுக் கட்டுரை உள்ளது.

சரி. நம்மூரில் இவ்விஷயம் உள்ளதா? ஏனில்லாமல். என் நண்பர் அருள் லக்ஷ்மிநாராயணன் ‘ரெஸொனன்ஸ்’ (Resonance)  அறிவியல் சஞ்சிகையில் இவ்வளையங்களைப்பற்றி ஒரு சுவையான கட்டுரை எழுதியுள்ளார். இந்தச் சுட்டியில் http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/12/05/0041-0047.pdf  தரவிறக்கி வாசிக்கலாம்.

போரோமியன் வளையங்களின் மாதிரி வடிவம் சென்னை திருவான்மியூர் பகுதியிலுள்ள மருந்தீஸ்வரர் கோவில் தூண்களில் செதுக்கப்பட்டிருப்பது குறித்து புகைப்படத்துடன் விளக்கியுள்ளார்.

மருந்தீஸ்வரர் கோயிலின் திரிபுரசுந்தரியின் கர்பக்கிருஹத்திற்கு வெளியே உள்ள அத்தூணின் புகைப்படம் அருகில் உள்ளது.  சட்டென்று பார்க்க ஸ்ரீசக்ரம் போல இருக்கும்.  உன்னிப்பாக கவனித்தால் மேலே விளக்கிய போரோமியன் வளையங்களின் வடிவம் தென்படும்.

மருந்தீஸ்வரர் கோயில் கிட்டதட்ட ஆறாம் நுற்றாண்டிலிருந்து இருக்கிறது (எட்டாம் நூற்றாண்டிலிருந்த நாயன்மார்கள் பாடல்களில் கோயில் பற்றி குறிப்பு இருக்கிறதாம்). ஆனால் இத்தூண்கள் அப்போதே செய்யப்பட்டவையா என்று ஊர்ஜிதமாக சொல்லமுடியவில்லை. பின்னால் வந்தவர்கள் இவ்வகை வளையங்களை, இந்துமதத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பலவகை யந்திரங்கள் போல பாவித்திருக்கலாம். திரிபுரசுந்தரி ஷக்தியின் வடிவம். பிரம்மா, விஷ்ணு, சிவன் ஆகிய மும்மூர்த்திகளையும் தன்னுள் கொண்டவள் என்பதுபோன்ற ஒரு தாத்பர்யத்தில், ஒரு யந்திரம் போல, இத்தூணில் இவ்வகை வளையங்களை செதுக்கியிருக்கலாம். தெரியவில்லை.

கோயிலில் கேட்கப்போனால் ஏதாவது சரடு விடுவார்கள் என்கிற தயக்கம். அதனால் தமிழ்நாட்டின் கோவில்களின் வரலாற்றையும், பண்பாட்டையும் விளக்கும் ஆய்வுப்புத்தகங்கள் எழுதியுள்ள ஒருவரிடம் இந்த கணிதப்பொருட்கள் கோயிலினுள் இருப்பதற்கான விளக்கம் கேட்டேன். சரியான தர்க்கபூர்வமான பதிலில்லை. இவற்றை கணித பொருட்களாக பார்க்கலாம் என்பதையே அவர் அறிந்திருக்கவில்லை.

கோவில்களில் கணிதபொருட்களை கண்டுகொள்வது எனது சமீபத்திய பொழுதுபோக்கு. ஒருவகையில் இங்கிருக்கும் போரோமியன் வளையங்களின் எளிமையான வடிவான, டோப்பாலஜி துறையின் தர்க்கப்படி இரண்டு ‘வட்டங்களினால்’ உருவான ஒரு முடிச்சை பாருங்கள். ஸ்ரீரங்கம் அரங்கன் கோயில் தூணில் உள்ளது.

போரோமியன் வளையங்கள் என்றில்லை. நம் கோவில் தூண்களின் சிற்பங்களில், உப்பரிகை அலங்காரங்களில், மேலும் சில கணித பொருட்களை அடையாளம் காட்டலாம். அடிக்கடி தென்படும் பொருள் ‘முடிவிலி’யின் உருவகங்கள். தன் வாலையே விழுங்கும் சர்பம் சிறந்த உதாரணம். ஆரபோரஸ் என்று மேற்கத்திய சிந்தனையில் இவ்வுருவகம் உள்ளது. கணிதவியலாளர்களை வியப்பிலாழ்த்தும் பல வகை ‘முடிச்சுகள்’ கணலாம். மருந்தீஸ்வரர் கோயிலிலேயே மற்றொரு தூணில், ஸ்டிவ்டோர் முடிச்சு என்று டோப்பாலஜி துறை கணிதவியலாளர்கள் குறிப்பிடும் வடிவம், உள்ளது. அருகில் படத்தில் பாருங்கள். இவ்வகை முடிச்சை ப்ரைம் நாட், மூல முடிச்சு என்கிறார்கள். அதாவது, இவ்வகைமுடிச்சை, இதனுடன் எளிமையான முடிச்சுகளாக வகுக்கமுடியாது.

இவ்வகை மூல முடிச்சின் சிக்கலான வடிவத்திற்கு உதாரணமாக திருச்சி மலைகோட்டை தாயுமானவர் சுவாமி கோவில் தூணில் இருந்து நான்கு சர்பங்களின் கூட்டணியில் உருவான ‘முடிச்சை’ கொடுத்துள்ளேன்.

நிச்சயம் ஒரு கோயிலில்தான் இவை காணப்படும் என்று நான் நினைக்கவில்லை. தேடிப்பார்த்தால் பல இடங்களில், புள்ளபூதங்குடியிலோ, ராச்சாண்டார் திருமலையிலோ தென்படலாம்.

தொன்மையான நம் கலைப்பொருட்களை அறிவியல் சிந்தையுடன் அணுக முனைகையில், சட்டென உணர்ச்சிப்பெருக்குடன், ‘அன்றே இவ்வகை கணிதவியல்களை கண்டறிந்துள்ளோம்’ என்பதுபோன்ற நிரூபணமற்ற சாதிப்புகளை செய்தால் விரயமே. இவ்வகை முன்முடிபுகளைக் களைந்து கலைகளுக்கும் அறிவுத்துறைகளுக்குமான செயற்கை ஆழியை நாம்தான் கடக்க முயலவேண்டும். கோயில்களிலுள்ள இவ்வகை கணித பொருட்கள் பலதும் அலங்காரங்களைக் கடந்து நம் மரபு சார்ந்த தத்துவங்களையும், சிந்தனைகளையும் நம்பிக்கைகளையும் உள்ளர்தங்களாய் கொண்டிருக்கும் உருவகங்களாய், குறியீடுகளாய் திகழ்கிறது என்பது என் ஊகம். நிலைநாட்ட, நிச்சயம் நம்மில் எவராவது ஆராய்ந்து தொகுக்கவேண்டிய விஷயம்.

கோயில் செல்லவும் ஒரு நல்ல காரணம்.

*

கோயில்களில் உள்ள கணிதப் பொருட்களை பற்றி தகவல்கள் சேகரித்து ஆய்வுநூல் தயாரிக்கும் ஆவல் உள்ளது. சின்ன சின்ன ஆசைகளில் இருநூற்றி எழுபத்தி நாலாவது. இதற்கென்று முனைந்தால், தமிழ்நாட்டுக் கோயில்களை (கோடை விடுமுறைகளில் மட்டும்) விசிட்ட எனக்குச் சில வருடங்கள் பிடிக்கலாம். ஆர்வமிருக்கும் வாசகர்கள் தங்களுக்குத் தெரிந்த இவ்வகை வேலைப்பாடுகள் உள்ள கோயில்களைப் பற்றிய தகவல்கள், புகைப்படங்களை என்னோடு பகிர்ந்துகொள்ளலாம். ஆய்வுநூல் உருவாகி வெளியானால் (சொல்ல முடியாது, தமிழ் எழுத்துச் சூழலில் எதுவும் நடக்கலாம்) என் நன்றியை ஆவணப்படுத்துகிறேன்.